Operações com frações - parte 3

Operar com frações é algo difícil para os alunos. Eles normalmente lembram das regras quando aprendem as operações mas as esquecem com bastante facilidade. Quando chegam no ensino médio ou superior é muito comum somarem frações heterogêneas adicionando numeradores e denominadores ou inventarem regras para multiplicar e dividir frações. Isto ocorre porque os conteúdos não foram devidamente assimilados e a aprendizagem não foi significativa para eles!

É preciso dar-lhes condições para resgatar da memória relações estabelecidas quando da aprendizagem das frações e das operações com frações. Para que isso ocorra, nada melhor que basear o ensino em atividades concretas e com significado!

Vamos a algumas propostas! Para as atividades que seguem serão utilizados os discos fracionários mencionados no artigo Mais sobre frações -parte 2.

Adição e Subtração de frações homogêneas

Somar ou subtrair frações homogêneas é muito fácil, pois basta operar com os numeradores e manter o mesmo denominador. O que muitos alunos não se dão conta é da justificativa para tal procedimento. Com o uso dos discos fracionários é uma barbada para entender. Vejamos alguns exemplos.

Podemos observar que as partes adicionadas ou subtraídas são da mesma família, ou seja, no primeiro caso os "quintos" e, no segundo,  os "oitavos". Ao somar 1/5 com 3/5 estamos juntando peças amarelas e de mesmo tipo e tamanho; o mesmo ocorre quando na segunda operação. Então, basta adicionar ou subtrair os numeradores mantendo o mesmo denominador (família).

Quando os alunos decoram as regras sem ter o devido entendimento eles as esquecem com rapidez. Daí a importância do embasamento teórico, do entendimento, das imagens mentais formadas a partir da manipulação dos materiais e das relações estabelecidas nas atividades práticas.

Adição e subtração de frações heterogêneas

Como adicionar 1/2 e 2/4? Por que deve-se fazer o mínimo múltiplo comum? Bem, os meios e os quartos são de famílias diferentes! Os meios são partes grandes, dois deles formam um inteiro e nos discos fracionários estão coloridos em vermelho. Os quartos são partes menores, quatro deles formam um inteiro e nos discos fracionários têm a cor roxa. Então, não podemos simplesmente juntar partes de cores, tamanhos e famílias diferentes! É preciso transformar, neste caso uma das frações, por meio de equivalência.

Vamos ver outro exemplo: 2/3 + 1/2 São duas frações de famílias diferentes e, neste caso, precisamos transformar as duas frações por equivalência a fim de obtermos outras frações que correspondam a estas e sejam, ambas, de mesma família (denominadores comuns).

  É interessante observar que essa "procura" por frações equivalentes, num primeiro momento, é feita por sobreposição com o uso dos discos fracionários. Num segundo momento através das classes de equivalência e, por fim, pelo uso do mmc, que é um recurso mais rápido e prático. Para os exemplos acima, teremos:

Uma outra forma de propor atividades introdutórias de adição e subtração de frações heterogêneas é através de desenho. Seja, por exemplo, a operação 3/5 - 1/10 em que mostramos ao aluno uma figura retangular dividida em 10 partes iguais. O primeiro passo é pintar 3/5 da figura, ou seja, três colunas da mesma visto que há cinco colunas no total. O segundo passo consiste em riscar 2/10 da figura, isto é, duas das dez partes em que a mesma está dividida.

Vamos a outro exemplo: 3/4 - 2/3. 3/4 são três das quatro colunas em que a figura foi dividida e 2/3, por sua vez, corresponde a oito partes das figura (duas das três linhas). Então, pintamos 9 das 12 partes e subtraímos 8, resultando 1/12 da figura.

Multiplicação de Frações

Quanto é 2 x 1/5 ?  E 3 x 1/2 ? Muito simples de mostrar utilizando discos fracionários!

A partir de outros exemplos como esses, os alunos poderão criar a regrinha do produto de um número por uma fração que é a seguinte: para multiplicar um número por uma fração basta multiplicar o número pelo numerador da fração e conservar o mesmo denominador.

No caso de multiplicações de frações por um  número como, por exemplo, 1/4 x 8 ou 2/3 x 12 pode-se mostrar com os discos fracionários e material de contagem (desenho abaixo) ou justificar pela comutatividade da multiplicação e, neste caso, utilizando a mesma proposta vista acima.

  Para multiplicar uma fração por outra prefiro utilizar dobraduras. Então, como mostrar 1/2 x 1/4 ou 1/2 de 1/4? Vamos, primeiramente, tomar uma folha de papel e dobrá-la em 4 partes e, em seguida, hachurar 1/4 dessa folha de vermelho. Depois, com a folha dobrada em quatro partes e visualizando a parte pintada, vamos dobrar ao meio e pintar de azul a fração da folha obtida. Ao abrir a folha observamos que 1/8 da mesma está pintada nas duas cores e, portanto, 1/2 de 1/4 é o mesmo que 1/2 x 1/4 = 1/8.

Vamos a outro exemplo, 1/3 x 1/2 ou 1/3 de 1/2. Primeiramente dobramos a folha em duas partes e pintamos de vermelho metade dela. Depois, com a folha dobrada, fazemos o rolinho para dobrá-la em três partes. Pintamos 1/3 de azul e, ao abrir a folha, observamos que 1/6 da mesma foi pintada nas duas cores. Assim, 1/3 x 1/2 = 1/6.

Após outros exemplos práticos, os estudantes podem criar a regra para multiplicar uma fração por outra: basta multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si.

Divisão de frações

Que venha a divisão agora! Quantas vezes o 1/2 cabe no inteiro? A operação referente a essa questão é 1:1/2. Para resolver esse problema, podemos tomar o inteiro e os meios dos discos fracionários e simplesmente observar que 1/2 cabe duas vezes no inteiro. Assim, 1:1/2=2.

Quantas vezes o inteiro cabe em 1/2, isto é, qual o resultado de 1/2 : 1?

Cabe apenas metade de um inteiro no meio, por isso, o resultado da operação é 1/2. Assim: 1/2:1=1/2.

Quantas vezes 1/6 cabe em 2/3, ou seja, quanto dá 2/3:1/6?

Tomamos 1/6 dos discos fracionários, que corresponde a uma peça verde escura e, também, 2/3 que são duas peças verde-claras. Ao fazer a sobreposição observamos que 1/6 cabe 4 vezes em 2/3, logo 2/3:1/6=4.

Quanto do 1/3 cabe em 1/9, ou seja, qual o resultado de 1/9 : 1/3?

Ao tomar uma peça azul (1/9) e uma peça verde-clara (1/3) vemos que apenas a terça parte da verde-clara cabe na peça azul. Logo, 1/9:1/3= 1/3.

Após a análise destes e de outros casos, os estudantes poderão concluir a regrinha da divisão de frações que é: ao dividir uma fração por outra multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda.

Referências Bibliográficas

BORTOLOTTO, Ângela G. et al. Frações. Caxias do Sul: EDUCS, 1993.