Ensinando a multiplicação nos anos iniciais

A multiplicação é geralmente introduzida na escola sob o enfoque da adição de parcelas iguais. Essa abordagem é evidenciada, principalmente, na construção das tabuadas. Há, porém, mais ideias que devem ser trabalhadas para explorar outros significados da multiplicação que são, de acordo com os PCN,  a proporcionalidade, o raciocínio combinatório e a organização retangular.

Adição de parcelas iguais

A adição de parcelas iguais refere-se à soma repetitiva de um mesmo número, soma essa que pode ser abreviada por uma multiplicação. Seja, por exemplo, um grupo de quatro crianças em que cada uma receberá 3 balas. No total, serão distribuídas 3 + 3 + 3 + 3 =12 ou 4 x 3 = 12 balas.

A construção das tabuadas de multiplicação pode ser feita através de atividades concretas, jogos, músicas, etc. É muito importante que a criança compreenda e construa as tabuadas para, num segundo momento, memorizá-las.

O Jogo dos palitos é uma proposta interessante para construir a tabuada do 3. Para este jogo é necessário providenciar, para cada grupo de 3 ou 4 alunos, dez palitos de picolé, canetinhas e folhas de relatório (modelo abaixo). Cada grupo recebe o material e desenha, com as canetinhas, três estrelas ou outras três figuras quaisquer em cada palito (podem ser coladas figuras adesivas nos palitos ao invés do desenho). Uma criança de cada vez segura os palitos com a mão fechada e, em seguida, os larga sobre a mesa (como no jogo “pega varetas”). Alguns palitos ficarão virados para cima, com os desenhos à mostra, e outros ficarão virados para baixo. O grupo deve observar quantos palitos ficaram virados para cima e quantas estrelas (ou figuras), no total, podem ser contadas para preencher um relatório tal como modelo:

Em seguida, outra criança do grupo faz o mesmo e, se a quantidade de palitos com as figuras à mostra for a mesma que na jogada anterior, ela repete a jogada. Com uma nova situação à frente, cada participante do grupo preenche outra folha do relatório. Assim prossegue a atividade até que as dez frases da tabuada do 3 tenham sido encontradas. No final, cada criança ordenará e grampeará suas folhas compondo o “livrinho da tabuada do três”. Essa atividade pode ser utilizada para outras tabuadas bastando, para isso, modificar a quantidade de figuras de cada palito.

Proporcionalidade

A proporcionalidade é base de noções como razão, proporção, regra de três, semelhança de figuras, entre outras e, desde cedo, a criança utiliza essas relações de forma intuitiva. Conforme enfatizam Toledo; Toledo “isso acontece quando, visualizando o espaço que a cerca, ela imagina o tamanho de um objeto que está distante; interpreta desenhos, fotos, imagens da tevê; estima a relação entre seu tamanho e um espaço por onde quer passar; etc”. Uma situação-problema que explora esse significado da multiplicação é, por exemplo, a seguinte:  em uma festa de aniversário, todas as crianças ganharam o mesmo número de balões. Se 2 crianças ganharam 6 balões, quantos balões ganharam 4 crianças? E 6 crianças? Uma análise da situação permite concluir que:

• se duas crianças ganharam 6 balões, então cada criança ganhou 3 balões (metade)
• se o número de crianças aumenta (diminui), também aumenta (diminui) o número de balões;
• 4 é o dobro de 2 e, portanto, o total de balões distribuído para 4 crianças é  dobro do número de balões dado a 2 crianças;
• 6 é o triplo de 2 e, por isso, o total de balões distribuído a 6 crianças é o triplo da quantidade distribuída 2 crianças.

A partir de situações como essa, cálculos mentais que se apoiem na ideia de proporcionalidade podem ser propostos. Por exemplo, se 4 x 12 = 48 então quanto é 2 x 12 ? Como 2 é a metade de 4, então 2 x 12 = 24, ou seja, a metade de 48.

Raciocínio Combinatório

As situações associadas à ideia de combinatória aparecem em problemas que exigem a organização de uma contagem e, para resolvê-los é interessante disponibilizar às crianças materiais manipulativos para, depois, construir algumas representações das situações utilizando esquemas, tabelas ou diagramas.

Oferecendo quadrados e triângulos de mesmo tamanho e em três cores diferentes, uma atividade envolvendo a combinatória sugerida por Lorenzi; Chies é a que solicita que as crianças descubram quantas casinhas diferentes podem ser formadas utilizando, para cada uma, um quadrado e um triângulo. Após o manuseio das peças, feitas de papel ou tomadas dos blocos lógicos, os alunos encontrarão o resultado 9 por meio da contagem. Analisando algumas situações semelhantes poderão concluir que, em problemas deste tipo, o produto das quantidades de variações de cada grandeza dá o total de elementos, no caso, 3x3=9.  

Organização Retangular

A ideia de organização retangular da multiplicação desafia o estudante a descobrir a área de uma superfície, o número de peças de um tabuleiro ou o número de cadeiras que cabem num salão, por exemplo. Não é obvio para as crianças que um retângulo com 4 linhas e 5 colunas tem o mesmo número de quadradinhos ou casas que outro com 5 linhas e 4 colunas. Essas noções devem ser experienciadas concretamente!

Ao propor um trabalho com o “ladrilhamento”, as crianças estão se familiarizando com questões referentes à área de uma superfície e ao cálculo da mesma.

Para realizar multiplicações com o enfoque de configuração retangular, sugiro que cada aluno construa uma placa quadriculada, como a do modelo que segue, com vinte linhas e vinte colunas. Essa placa é construída a partir de um quadrado de papel cartão branco com 20 cm de lado. Cada quarta parte da placa (ou seja, cem quadradinhos) é separada com linhas mais espessas e pintada de uma cor. Duas tiras móveis de 43 cm de comprimento por 3 centímetros de largura, em cor neutra, são ajustadas à placa por meio de dobras e unidas com cola apenas nas bordas, na parte de trás da mesma. A função das tiras é selecionar áreas da placa quadriculada através do movimento de ambas. O professor combina com os alunos que a área do canto superior esquerdo (azul) é o ponto de partida em cada atividade. Pode-se numerar de 1 a 20 a última linha e a última coluna da placa; isso facilitará a descoberta do número de quadradinhos da linha e da coluna em questão, embora os traçados mais espessos auxiliem nesse aspecto.

Com a placa quadriculada a representação de inúmeras multiplicações é feita com rapidez, através da simples manipulação das tiras. O registro, através de desenho em papel quadriculado associado a escritas mutiplicativas, deverá acompanhar o trabalho, pois auxiliará no resgate da memória. A placa pode ser tomada como um grande piso e a tarefa é descobrir quantos azulejos há em determinadas superfícies delimitadas do mesmo. Se, por exemplo, for demarcada uma área de 5 por 10, o total de azulejos (50) poderá ser encontrado por meio da contagem um a um, pela adição de parcelas iguais, já que as filas têm mesmo número de elementos ou por uma multiplicação (5 x 10). Os alunos logo perceberão que a última alternativa é a mais econômica e, certamente, passarão a utilizá-la. Conforme ilustrado abaixo, há duas representações possíveis e ambas estão corretas já que 5 pode ser tanto o número de linhas quanto o de colunas, transparecendo, assim, a propriedade comutativa.

O algoritmo da multiplicação

Para produtos em que um dos fatores é um número de dois algarismos poder-se-á explorar a propriedade distributiva da multiplicação com o auxílio das cores diferentes em que a placa foi pintada. Vejamos como fica representado o produto 7 x 13:

O número 13, através das cores, fica decomposto em 10 + 3 colunas. Para descobrir o total de quadradinhos do retângulo formado, basta observar e registrar os produtos correspondentes a cada cor da área selecionada e adicionar os resultados parciais. Assim, 7 x 13 é igual a 7 x 10 mais 7 x 3, ou seja, 70 + 21 = 91. Essa forma de decompor a figura não é única; as crianças poderão aventurar-se em encontrar outras como, por exemplo, 7 x 5 + 7 x 5 + 7 x 3 = 91 ou  7 x 5+7 x 8 = 91, etc. Com atividades desse tipo, os alunos têm a oportunidade de manipular os números e descobrir propriedades de forma intuitiva. Uma análise de todas as expressões surgidas em sala de aula permitirá à classe concluir que é mais fácil resolver uma multiplicação por 10.

 Na verdade, as atividades apresentadas têm o objetivo de propiciar experiências que permitam aos alunos realizar operações com compreensão. Na multiplicação com o quadriculado fica evidenciada a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, que é o princípio básico usado nos algoritmos (conta armada).

Por essa propriedade, podemos escrever: a x (b + c) = a x b + a x c, ou seja, os subprodutos que resultam da aplicação da mesma são, justamente, as regiões coloridas da placa quadriculada. Em operações desse tipo, com o uso do concreto, é interessante, inicialmente, que a criança escreva os produtos parciais no desenho e adicione-os em seguida, sem muito rigor matemático no registro escrito.

Antes de apresentar o algoritmo tradicional da multiplicação, pode-se pedir aos alunos que, observando a placa quadriculada, procurem uma forma de armar a conta para calcular 7 x 13. Talvez surja na sala de aula algum mecanismo alternativo que evidencie as etapas destacadas no concreto.

O algoritmo tradicional nada mais é do que uma simplificação do algoritmo alternativo em que os subprodutos são adicionados mentalmente:

A situação em que os dois fatores são números maiores que dez deve ser trabalhada posteriormente. O princípio é o mesmo com a diferença de que, na placa quadriculada, observar-se-á uma área pintada em quatro cores diferentes. No caso da operação 15 x 12, temos os produtos 10 x 10 = 100, 10 x 2 = 20, 5 x 10 = 50 e 5 x 2 = 10. Então:

15 x 12 = (10+5) x (10+2)=10 x 10+10 x 2+5 x 10+5 x 2=100 + 20 + 50 + 10=180

que vem ao encontro da propriedade distributiva desdobrada da multiplicação em relação à adição.

E algoritmos alternativos para tal produto poderiam muito bem ser:

É fácil justificar as etapas do algoritmo tradicional partindo desse ponto. Basta chamar a atenção para a soma das áreas 5 x 10 + 5 x 2 = 5 x 12 = 60 e 10 x 10 + 10 x 2 = 10 x 12 = 120. Ou seja, no algoritmo tradicional decompõe-se apenas um dos fatores para, a partir da multiplicação, obter duas parcelas cuja soma é o produto final.

Uma dúvida que frequentemente alunos e professores têm em relação ao algoritmo tradicional é do porquê deixar uma casa em branco (muitos colocam símbolos como: *, +, # ou -) na segunda parcela da adição envolvida no cálculo. Fica claro, com o uso do material, que nesta parcela tem-se sempre um número com final zero pois ele é  resultado da multiplicação por 10 ou por múltiplos de 10.

Abordar a multiplicação da forma como está sendo proposta, tem a vantagem de contribuir para a compreensão dos diferentes significados desta operação, nas séries iniciais do Ensino Fundamental. A exploração de diversificados materiais e de diferentes contextos, aliada à fundamentação do algoritmo, colabora para um ensino de qualidade, em que o aluno participa ativamente de sua própria aprendizagem.  

Referências Bibliográficas

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais. 2. ed. Rio de Janeiro: DP & A, 2000. 3v. LORENZI, Regine M. P. L., CHIES, Roselice P. Multiplicação: é possível realizar a operação sob diferentes abordagens metodológicas. Revista do Professor, Porto Alegre, n. 102, ab./jun. 2010. TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois: a construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997.